【中学数学】置きかえて共通項（係数なしの変数）で因数分解する問題 No.44
どうも、石崎です。『0からやりなおす中学数学の計算問題』（総合科学出版）などの著者です。『基本にカエル英語の本』という著書もあります。
さて、因数分解はどのように解けばいいのでしょうか。最初に共通項でくくります。
つぎに、公式にあてはめます。たくさんの問題を解けばどの公式にあてはめられるのかがわかるようになります。というわけで、地道に因数分解の演習問題を解きましょう。
＜はじめてのひとへ＞
・数式の表示は、MathJaxを利用しています。数式を表示させるにはネット接続とJavascriptを「オン」にすることが必要です。
・このページは印刷できます。詳しい方法は、計算問題を印刷する方法をご覧になってください。
・計算のしかたを工夫すれば楽に計算できるケースもあります。計算式はあくまで目安ですので、あらかじめご了承ください。
・計算問題のページには、ほかにも、たくさん計算問題があります。
＜出題内容＞
・対象：中学三年生（中学数学）
・種類：因数分解（置きかえて因数分解する問題）
・因数分解の方法：共通項（係数なしの変数）で因数分解
・問題数：15問
※公式
\[x^2-y^2=(x+y)(x-y)\]\[x^2+2xy+y^2=(x+y)^2\]\[x^2-2xy+y^2=(x-y)^2\]\[x^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)\]\[x^2+(ay+by)x+aby^2=(x+ay)(x+by)\]
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置きかえて因数分解する問題
（1）因数分解してください。
\[-(a-8)^{2}-2(a-8)\]
（2）因数分解してください。
\[-(a-8)^{2}+8(a-8)\]
（3）因数分解してください。
\[(a+1)^{2}+3(a+1)\]
（4）因数分解してください。
\[(x-1)^{2}+3(x-1)\]
（5）因数分解してください。
\[(a+7)^{2}-6(a+7)\]
（6）因数分解してください。
\[-(a+3)^{2}+(a+3)\]
（7）因数分解してください。
\[-(x-7)^{2}-3(x-7)\]
（8）因数分解してください。
\[-(a+7)^{2}-3(a+7)\]
（9）因数分解してください。
\[-(x+6)^{2}+(x+6)\]
（10）因数分解してください。
\[(a+4)^{2}-(a+4)\]
（11）因数分解してください。
\[(x+8)^{2}+6(x+8)\]
（12）因数分解してください。
\[-(x+3)^{2}-2(x+3)\]
（13）因数分解してください。
\[(x-7)^{2}-(x-7)\]
（14）因数分解してください。
\[(a+5)^{2}+8(a+5)\]
（15）因数分解してください。
\[-(a+6)^{2}-5(a+6)\]
置きかえて因数分解する問題（計算式）
（1）（ ）を「A」で置きかえます。そして、式の形をすこし変えると、どのように因数分解すればいいのかがわかるのではないでしょうか。
\[-A^{2}-2A\]
つぎのようになります。
\[-A(A+2)\]
Aをもとに戻すとつぎのようになります。
\[-(a-8)(a-8+2)\]
なお、式を見て因数分解できるのならば、Aに置きかえる必要はありません。
\[-(a-8)×(a-8)-(a-8)×2\]
（2）（ ）を「A」で置きかえます。そして、式の形をすこし変えると、どのように因数分解すればいいのかがわかるのではないでしょうか。
\[-A^{2}+8A\]
つぎのようになります。
\[-A(A-8)\]
Aをもとに戻すとつぎのようになります。
\[-(a-8)(a-8-8)\]
なお、式を見て因数分解できるのならば、Aに置きかえる必要はありません。
\[-(a-8)×(a-8)-(a-8)×(-8)\]
（3）（ ）を「A」で置きかえます。そして、式の形をすこし変えると、どのように因数分解すればいいのかがわかるのではないでしょうか。
\[A^{2}+3A\]
つぎのようになります。
\[A(A+3)\]
Aをもとに戻すとつぎのようになります。
\[(a+1)(a+1+3)\]
なお、式を見て因数分解できるのならば、Aに置きかえる必要はありません。
\[(a+1)×(a+1)+(a+1)×3\]
（4）（ ）を「A」で置きかえます。そして、式の形をすこし変えると、どのように因数分解すればいいのかがわかるのではないでしょうか。
\[A^{2}+3A\]
つぎのようになります。
\[A(A+3)\]
Aをもとに戻すとつぎのようになります。
\[(x-1)(x-1+3)\]
なお、式を見て因数分解できるのならば、Aに置きかえる必要はありません。
\[(x-1)×(x-1)+(x-1)×3\]
（5）（ ）を「A」で置きかえます。そして、式の形をすこし変えると、どのように因数分解すればいいのかがわかるのではないでしょうか。
\[A^{2}-6A\]
つぎのようになります。
\[A(A-6)\]
Aをもとに戻すとつぎのようになります。
\[(a+7)(a+7-6)\]
なお、式を見て因数分解できるのならば、Aに置きかえる必要はありません。
\[(a+7)×(a+7)+(a+7)×(-6)\]
（6）（ ）を「A」で置きかえます。そして、式の形をすこし変えると、どのように因数分解すればいいのかがわかるのではないでしょうか。
\[-A^{2}+A\]
つぎのようになります。
\[-A(A-1)\]
Aをもとに戻すとつぎのようになります。
\[-(a+3)(a+3-1)\]
なお、式を見て因数分解できるのならば、Aに置きかえる必要はありません。
\[-(a+3)×(a+3)-(a+3)×(-1)\]
（7）（ ）を「A」で置きかえます。そして、式の形をすこし変えると、どのように因数分解すればいいのかがわかるのではないでしょうか。
\[-A^{2}-3A\]
つぎのようになります。
\[-A(A+3)\]
Aをもとに戻すとつぎのようになります。
\[-(x-7)(x-7+3)\]
なお、式を見て因数分解できるのならば、Aに置きかえる必要はありません。
\[-(x-7)×(x-7)-(x-7)×3\]
（8）（ ）を「A」で置きかえます。そして、式の形をすこし変えると、どのように因数分解すればいいのかがわかるのではないでしょうか。
\[-A^{2}-3A\]
つぎのようになります。
\[-A(A+3)\]
Aをもとに戻すとつぎのようになります。
\[-(a+7)(a+7+3)\]
なお、式を見て因数分解できるのならば、Aに置きかえる必要はありません。
\[-(a+7)×(a+7)-(a+7)×3\]
（9）（ ）を「A」で置きかえます。そして、式の形をすこし変えると、どのように因数分解すればいいのかがわかるのではないでしょうか。
\[-A^{2}+A\]
つぎのようになります。
\[-A(A-1)\]
Aをもとに戻すとつぎのようになります。
\[-(x+6)(x+6-1)\]
なお、式を見て因数分解できるのならば、Aに置きかえる必要はありません。
\[-(x+6)×(x+6)-(x+6)×(-1)\]
（10）（ ）を「A」で置きかえます。そして、式の形をすこし変えると、どのように因数分解すればいいのかがわかるのではないでしょうか。
\[A^{2}-A\]
つぎのようになります。
\[A(A-1)\]
Aをもとに戻すとつぎのようになります。
\[(a+4)(a+4-1)\]
なお、式を見て因数分解できるのならば、Aに置きかえる必要はありません。
\[(a+4)×(a+4)+(a+4)×(-1)\]
（11）（ ）を「A」で置きかえます。そして、式の形をすこし変えると、どのように因数分解すればいいのかがわかるのではないでしょうか。
\[A^{2}+6A\]
つぎのようになります。
\[A(A+6)\]
Aをもとに戻すとつぎのようになります。
\[(x+8)(x+8+6)\]
なお、式を見て因数分解できるのならば、Aに置きかえる必要はありません。
\[(x+8)×(x+8)+(x+8)×6\]
（12）（ ）を「A」で置きかえます。そして、式の形をすこし変えると、どのように因数分解すればいいのかがわかるのではないでしょうか。
\[-A^{2}-2A\]
つぎのようになります。
\[-A(A+2)\]
Aをもとに戻すとつぎのようになります。
\[-(x+3)(x+3+2)\]
なお、式を見て因数分解できるのならば、Aに置きかえる必要はありません。
\[-(x+3)×(x+3)-(x+3)×2\]
（13）（ ）を「A」で置きかえます。そして、式の形をすこし変えると、どのように因数分解すればいいのかがわかるのではないでしょうか。
\[A^{2}-A\]
つぎのようになります。
\[A(A-1)\]
Aをもとに戻すとつぎのようになります。
\[(x-7)(x-7-1)\]
なお、式を見て因数分解できるのならば、Aに置きかえる必要はありません。
\[(x-7)×(x-7)+(x-7)×(-1)\]
（14）（ ）を「A」で置きかえます。そして、式の形をすこし変えると、どのように因数分解すればいいのかがわかるのではないでしょうか。
\[A^{2}+8A\]
つぎのようになります。
\[A(A+8)\]
Aをもとに戻すとつぎのようになります。
\[(a+5)(a+5+8)\]
なお、式を見て因数分解できるのならば、Aに置きかえる必要はありません。
\[(a+5)×(a+5)+(a+5)×8\]
（15）（ ）を「A」で置きかえます。そして、式の形をすこし変えると、どのように因数分解すればいいのかがわかるのではないでしょうか。
\[-A^{2}-5A\]
つぎのようになります。
\[-A(A+5)\]
Aをもとに戻すとつぎのようになります。
\[-(a+6)(a+6+5)\]
なお、式を見て因数分解できるのならば、Aに置きかえる必要はありません。
\[-(a+6)×(a+6)-(a+6)×5\]
置きかえて因数分解する問題（解答）
まずは、テキストや参考書を読んでしっかり理解することが大切です。その際、数学が苦手で勉強がつらいのならば、わかりやすいテキストや参考書を探すといいでしょう。
つぎに演習問題を解きます。良問を解くと効率的ですが、苦手なひとは同じような問題でも数字を変えると間違えるなどをしてしまうので、お勧めしません。そこで、数値だけ変えた演習問題を大量に解いていくといいでしょう。そのような演習問題はどこにあるのでしょうか。まさしくこのウェブサイトです。
（1）答えはつぎのようになります。
\[-(a-8)(a-6)\]
（2）答えはつぎのようになります。
\[-(a-8)(a-16)\]
（3）答えはつぎのようになります。
\[(a+1)(a+4)\]
（4）答えはつぎのようになります。
\[(x-1)(x+2)\]
（5）答えはつぎのようになります。
\[(a+7)(a+1)\]
（6）答えはつぎのようになります。
\[-(a+3)(a+2)\]
（7）答えはつぎのようになります。
\[-(x-7)(x-4)\]
（8）答えはつぎのようになります。
\[-(a+7)(a+10)\]
（9）答えはつぎのようになります。
\[-(x+6)(x+5)\]
（10）答えはつぎのようになります。
\[(a+4)(a+3)\]
（11）答えはつぎのようになります。
\[(x+8)(x+14)\]
（12）答えはつぎのようになります。
\[-(x+3)(x+5)\]
（13）答えはつぎのようになります。
\[(x-7)(x-8)\]
（14）答えはつぎのようになります。
\[(a+5)(a+13)\]
（15）答えはつぎのようになります。
\[-(a+6)(a+11)\]