【中学数学】置きかえて因数分解する問題 No.124
こんにちは、石崎です。『0からやりなおす中学数学の計算問題』（総合科学出版）などの著者です。案外、著書があります。さて、因数分解はどのように解けばいいのでしょうか。まずは共通項でくくります。
つぎに、公式にあてはめます。たくさんの問題を解けばどの公式にあてはめられるのかがわかるようになります。というわけで、今回も、地道に因数分解の演習問題を解きましょう。
つらいときもありますが、今だけなので、がんばるしかないです。
数学の勉強は今のうちだけですしね。
＜はじめてのひとへ＞
・数式の表示は、MathJaxを利用しています。数式を表示させるにはネット接続とJavascriptを「オン」にすることが必要です。
・このページは印刷できます。詳しい方法は、計算問題を印刷する方法をご覧になってください。
・計算のしかたを工夫すれば楽に計算できるケースもあります。計算式はあくまで目安ですので、あらかじめご了承ください。
・計算問題のページには、ほかにも、たくさん計算問題があります。
＜出題内容＞
・対象：中学三年生（中学数学）
・種類：因数分解（置きかえて因数分解する問題）
・因数分解の方法：因数分解
・問題数：20問
※公式
\[x^2-y^2=(x+y)(x-y)\]\[x^2+2xy+y^2=(x+y)^2\]\[x^2-2xy+y^2=(x-y)^2\]\[x^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)\]\[x^2+(ay+by)x+aby^2=(x+ay)(x+by)\]
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置きかえて因数分解する問題
（1）因数分解してください。
\[-(a-7)^{2}+3(a-7)\]
（2）因数分解してください。
\[(x-8)^2+16(x-8)+64\]
（3）因数分解してください。
\[(x+1)^2-5(x+1)-36\]
（4）因数分解してください。
\[9(a+5)^{2}+9(a+5)\]
（5）因数分解してください。
\[(x-4)^2+4(x-4)+4\]
（6）因数分解してください。
\[(a-3)^2-2(a-3)+1\]
（7）因数分解してください。
\[(x+9)^2-10(x+9)+25\]
（8）因数分解してください。
\[(a-8)^{2}-5(a-8)\]
（9）因数分解してください。
\[(x-9)^{2}+(x-9)\]
（10）因数分解してください。
\[(x-5)^2-16\]
（11）因数分解してください。
\[(a-9)^2-13(a-9)+40\]
（12）因数分解してください。
\[3(x+8)^{2}+21(x+8)\]
（13）因数分解してください。
\[(x+9)^2-16(x+9)+64\]
（14）因数分解してください。
\[7(a-5)^{2}+14(a-5)\]
（15）因数分解してください。
\[-3(a+1)^{2}-6(a+1)\]
（16）因数分解してください。
\[(a-2)^2-4\]
（17）因数分解してください。
\[(x-1)^{2}-(x-1)\]
（18）因数分解してください。
\[-(x+5)^{2}-(x+5)\]
（19）因数分解してください。
\[(a+8)^2-4(a+8)-21\]
（20）因数分解してください。
\[(x-1)^2-12(x-1)+36\]
置きかえて因数分解する問題（計算式）
（1）（ ）を「A」で置きかえます。そして、式の形をすこし変えると、どのように因数分解すればいいのかがわかるのではないでしょうか。
\[-A^{2}+3A\]
つぎのようになります。
\[-A(A-3)\]
Aをもとに戻すとつぎのようになります。
\[-(a-7)(a-7-3)\]
なお、式を見て因数分解できるのならば、Aに置きかえる必要はありません。
\[-(a-7)×(a-7)-(a-7)×(-3)\]
（2）（ ）を「A」で置きかえます。そして、式の形をすこし変えると、どのように因数分解すればいいのかがわかるのではないでしょうか。
\[A^2+2×A×8+(8)^2\]
つぎのようになります。
\[(A+8)^2\]
Aをもとに戻すとつぎのようになります。
\[(x-8+8)^2\]
なお、式を見て因数分解できるのならば、Aに置きかえる必要はありません。
\[(x-8)^2+2×(x-8)×8+(8)^2\]
（3）（ ）を「A」で置きかえます。そして、式の形をすこし変えると、どのように因数分解すればいいのかがわかるのではないでしょうか。
\[A^2+\{(-9)+4\}A+(-9)×4\]
つぎのようになります。
\[(A-9)(A+4)\]
Aをもとに戻すとつぎのようになります。
\[(x+1-9)(x+1+4)\]
なお、式を見て因数分解できるのならば、Aに置きかえる必要はありません。
\[(x+1)^2+\{(-9)+4\}(x+1)+(-9)×4\]
（4）（ ）を「A」で置きかえます。そして、式の形をすこし変えると、どのように因数分解すればいいのかがわかるのではないでしょうか。
\[9A^{2}+9A\]
つぎのようになります。
\[9A(A+1)\]
Aをもとに戻すとつぎのようになります。
\[9(a+5)(a+5+1)\]
なお、式を見て因数分解できるのならば、Aに置きかえる必要はありません。
\[9(a+5)×(a+5)+9(a+5)×1\]
（5）（ ）を「A」で置きかえます。そして、式の形をすこし変えると、どのように因数分解すればいいのかがわかるのではないでしょうか。
\[A^2+2×A×2+(2)^2\]
つぎのようになります。
\[(A+2)^2\]
Aをもとに戻すとつぎのようになります。
\[(x-4+2)^2\]
なお、式を見て因数分解できるのならば、Aに置きかえる必要はありません。
\[(x-4)^2+2×(x-4)×2+(2)^2\]
（6）（ ）を「A」で置きかえます。そして、式の形をすこし変えると、どのように因数分解すればいいのかがわかるのではないでしょうか。
\[A^2-2×A×1+(1)^2\]
つぎのようになります。
\[(A-1)^2\]
Aをもとに戻すとつぎのようになります。
\[(a-3-1)^2\]
なお、式を見て因数分解できるのならば、Aに置きかえる必要はありません。
\[(a-3)^2-2×(a-3)×1+(1)^2\]
（7）（ ）を「A」で置きかえます。そして、式の形をすこし変えると、どのように因数分解すればいいのかがわかるのではないでしょうか。
\[A^2-2×A×5+(5)^2\]
つぎのようになります。
\[(A-5)^2\]
Aをもとに戻すとつぎのようになります。
\[(x+9-5)^2\]
なお、式を見て因数分解できるのならば、Aに置きかえる必要はありません。
\[(x+9)^2-2×(x+9)×5+(5)^2\]
（8）（ ）を「A」で置きかえます。そして、式の形をすこし変えると、どのように因数分解すればいいのかがわかるのではないでしょうか。
\[A^{2}-5A\]
つぎのようになります。
\[A(A-5)\]
Aをもとに戻すとつぎのようになります。
\[(a-8)(a-8-5)\]
なお、式を見て因数分解できるのならば、Aに置きかえる必要はありません。
\[(a-8)×(a-8)+(a-8)×(-5)\]
（9）（ ）を「A」で置きかえます。そして、式の形をすこし変えると、どのように因数分解すればいいのかがわかるのではないでしょうか。
\[A^{2}+A\]
つぎのようになります。
\[A(A+1)\]
Aをもとに戻すとつぎのようになります。
\[(x-9)(x-9+1)\]
なお、式を見て因数分解できるのならば、Aに置きかえる必要はありません。
\[(x-9)×(x-9)+(x-9)×1\]
（10）（ ）を「A」で置きかえます。そして、式の形をすこし変えると、どのように因数分解すればいいのかがわかるのではないでしょうか。
\[(A)^2-(4)^2\]
つぎのようになります。
\[(A+4)(A-4)\]
Aをもとに戻すとつぎのようになります。
\[(x-5+4)(x-5-4)\]
なお、式を見て因数分解できるのならば、Aに置きかえる必要はありません。
\[(x-5)^2-(4)^2\]
（11）（ ）を「A」で置きかえます。そして、式の形をすこし変えると、どのように因数分解すればいいのかがわかるのではないでしょうか。
\[A^2+\{(-8)+(-5)\}A+(-8)×(-5)\]
つぎのようになります。
\[(A-8)(A-5)\]
Aをもとに戻すとつぎのようになります。
\[(a-9-8)(a-9-5)\]
なお、式を見て因数分解できるのならば、Aに置きかえる必要はありません。
\[(a-9)^2+\{(-8)+(-5)\}(a-9)+(-8)×(-5)\]
（12）（ ）を「A」で置きかえます。そして、式の形をすこし変えると、どのように因数分解すればいいのかがわかるのではないでしょうか。
\[3A^{2}+21A\]
つぎのようになります。
\[3A(A+7)\]
Aをもとに戻すとつぎのようになります。
\[3(x+8)(x+8+7)\]
なお、式を見て因数分解できるのならば、Aに置きかえる必要はありません。
\[3(x+8)×(x+8)+3(x+8)×7\]
（13）（ ）を「A」で置きかえます。そして、式の形をすこし変えると、どのように因数分解すればいいのかがわかるのではないでしょうか。
\[A^2-2×A×8+(8)^2\]
つぎのようになります。
\[(A-8)^2\]
Aをもとに戻すとつぎのようになります。
\[(x+9-8)^2\]
なお、式を見て因数分解できるのならば、Aに置きかえる必要はありません。
\[(x+9)^2-2×(x+9)×8+(8)^2\]
（14）（ ）を「A」で置きかえます。そして、式の形をすこし変えると、どのように因数分解すればいいのかがわかるのではないでしょうか。
\[7A^{2}+14A\]
つぎのようになります。
\[7A(A+2)\]
Aをもとに戻すとつぎのようになります。
\[7(a-5)(a-5+2)\]
なお、式を見て因数分解できるのならば、Aに置きかえる必要はありません。
\[7(a-5)×(a-5)+7(a-5)×2\]
（15）（ ）を「A」で置きかえます。そして、式の形をすこし変えると、どのように因数分解すればいいのかがわかるのではないでしょうか。
\[-3A^{2}-6A\]
つぎのようになります。
\[-3A(A+2)\]
Aをもとに戻すとつぎのようになります。
\[-3(a+1)(a+1+2)\]
なお、式を見て因数分解できるのならば、Aに置きかえる必要はありません。
\[(-3)(a+1)×(a+1)+(-3)(a+1)×2\]
（16）（ ）を「A」で置きかえます。そして、式の形をすこし変えると、どのように因数分解すればいいのかがわかるのではないでしょうか。
\[(A)^2-(2)^2\]
つぎのようになります。
\[(A+2)(A-2)\]
Aをもとに戻すとつぎのようになります。
\[(a-2+2)(a-2-2)\]
なお、式を見て因数分解できるのならば、Aに置きかえる必要はありません。
\[(a-2)^2-(2)^2\]
（17）（ ）を「A」で置きかえます。そして、式の形をすこし変えると、どのように因数分解すればいいのかがわかるのではないでしょうか。
\[A^{2}-A\]
つぎのようになります。
\[A(A-1)\]
Aをもとに戻すとつぎのようになります。
\[(x-1)(x-1-1)\]
なお、式を見て因数分解できるのならば、Aに置きかえる必要はありません。
\[(x-1)×(x-1)+(x-1)×(-1)\]
（18）（ ）を「A」で置きかえます。そして、式の形をすこし変えると、どのように因数分解すればいいのかがわかるのではないでしょうか。
\[-A^{2}-A\]
つぎのようになります。
\[-A(A+1)\]
Aをもとに戻すとつぎのようになります。
\[-(x+5)(x+5+1)\]
なお、式を見て因数分解できるのならば、Aに置きかえる必要はありません。
\[-(x+5)×(x+5)-(x+5)×1\]
（19）（ ）を「A」で置きかえます。そして、式の形をすこし変えると、どのように因数分解すればいいのかがわかるのではないでしょうか。
\[A^2+\{3+(-7)\}A+3×(-7)\]
つぎのようになります。
\[(A+3)(A-7)\]
Aをもとに戻すとつぎのようになります。
\[(a+8+3)(a+8-7)\]
なお、式を見て因数分解できるのならば、Aに置きかえる必要はありません。
\[(a+8)^2+\{3+(-7)\}(a+8)+3×(-7)\]
（20）（ ）を「A」で置きかえます。そして、式の形をすこし変えると、どのように因数分解すればいいのかがわかるのではないでしょうか。
\[A^2-2×A×6+(6)^2\]
つぎのようになります。
\[(A-6)^2\]
Aをもとに戻すとつぎのようになります。
\[(x-1-6)^2\]
なお、式を見て因数分解できるのならば、Aに置きかえる必要はありません。
\[(x-1)^2-2×(x-1)×6+(6)^2\]
置きかえて因数分解する問題（解答）
勉強の秘訣は、まずはテキストや参考書を読んでしっかり理解することが大切です。その際、数学が苦手で勉強がつらいのならば、できるだけわかりやすいテキストや参考書で勉強しましょう。
つぎに練習問題を解きます。数学が得意ならば厳選した良問を解くことをお勧めしますが、数学が苦手なひとにはお勧めしません。同じような問題でも数字が変わるだけでわからなくなるなどあるためです。そこで、数値だけ変えた練習問題を大量に解いていくといいでしょう。そのような練習問題があるのが、まさしくこのウェブサイトです。
（1）答えはつぎのようになります。
\[-(a-7)(a-10)\]
（2）答えはつぎのようになります。
\[(x+0)^2\]
（3）答えはつぎのようになります。
\[(x-8)(x+5)\]
（4）答えはつぎのようになります。
\[(a+5)(a+6)\]
（5）答えはつぎのようになります。
\[(x-2)^2\]
（6）答えはつぎのようになります。
\[(a-4)^2\]
（7）答えはつぎのようになります。
\[(x+4)^2\]
（8）答えはつぎのようになります。
\[(a-8)(a-13)\]
（9）答えはつぎのようになります。
\[(x-9)(x-8)\]
（10）答えはつぎのようになります。
\[(x-1)(x-9)\]
（11）答えはつぎのようになります。
\[(a-17)(a-14)\]
（12）答えはつぎのようになります。
\[(x+8)(x+15)\]
（13）答えはつぎのようになります。
\[(x+1)^2\]
（14）答えはつぎのようになります。
\[(a-5)(a-3)\]
（15）答えはつぎのようになります。
\[-(a+1)(a+3)\]
（16）答えはつぎのようになります。
\[(a+0)(a-4)\]
（17）答えはつぎのようになります。
\[(x-1)(x-2)\]
（18）答えはつぎのようになります。
\[-(x+5)(x+6)\]
（19）答えはつぎのようになります。
\[(a+11)(a+1)\]
（20）答えはつぎのようになります。
\[(x-7)^2\]