【中学数学】置きかえて因数分解する問題 No.123
こんにちは、『5つのパターンで9割わかる！中学数学の文章題』（総合科学出版）などの著書がある石崎です。さて、数学は、所詮、入試のためのもので実生活では役立たないと思っているひとも多いのではないでしょうか。
いえいえ、数学は案外実生活で役立ちます。数学の勉強をしっかりしておきましょう。具体的には、まずは基本を理解して、つぎに同じ問題を繰り返し解くことです。特に計算問題は繰り返し問題を解くことが大切です。というわけで、今日も、因数分解の演習問題を解きましょう。
計算問題を繰り返し解いて本当に数学が得意になるのかと考えるひともいるかもしれませんが、嘘だと思って解いてみてください。そのうち、数学が苦手ではなくなっていると気がつくと思いますから。何度も式の展開の計算をしているとつらくなるかもしれませんが、それを乗り越えてくださいね。
＜はじめてのひとへ＞
・数式の表示は、MathJaxを利用しています。数式を表示させるにはネット接続とJavascriptを「オン」にすることが必要です。
・このページは印刷できます。詳しい方法は、計算問題を印刷する方法をご覧になってください。
・計算のしかたを工夫すれば楽に計算できるケースもあります。計算式はあくまで目安ですので、あらかじめご了承ください。
・計算問題のページには、ほかにも、たくさん計算問題があります。
＜出題内容＞
・対象：中学三年生（中学数学）
・種類：因数分解（置きかえて因数分解する問題）
・因数分解の方法：因数分解
・問題数：20問
※公式
\[x^2-y^2=(x+y)(x-y)\]\[x^2+2xy+y^2=(x+y)^2\]\[x^2-2xy+y^2=(x-y)^2\]\[x^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)\]\[x^2+(ay+by)x+aby^2=(x+ay)(x+by)\]
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置きかえて因数分解する問題
（1）因数分解してください。
\[(a+4)^2-36\]
（2）因数分解してください。
\[(x-5)^2+16(x-5)+64\]
（3）因数分解してください。
\[(a-7)^2+16(a-7)+64\]
（4）因数分解してください。
\[(a-5)^{2}+5(a-5)\]
（5）因数分解してください。
\[(x+8)^2-2(x+8)-63\]
（6）因数分解してください。
\[(x+7)^2-4(x+7)+4\]
（7）因数分解してください。
\[-3(x+8)^{2}+24(x+8)\]
（8）因数分解してください。
\[(a+7)^2-14(a+7)+49\]
（9）因数分解してください。
\[-9(x-7)^{2}+9(x-7)\]
（10）因数分解してください。
\[(x+6)^{2}+(x+6)\]
（11）因数分解してください。
\[(a-7)^2-9(a-7)+14\]
（12）因数分解してください。
\[(x-4)^{2}-8(x-4)\]
（13）因数分解してください。
\[-4(x+2)^{2}-28(x+2)\]
（14）因数分解してください。
\[6(a+1)^{2}+12(a+1)\]
（15）因数分解してください。
\[-8(a+9)^{2}-8(a+9)\]
（16）因数分解してください。
\[-3(a+8)-3\]
（17）因数分解してください。
\[2(a-7)^{2}-10(a-7)\]
（18）因数分解してください。
\[(x-9)^2-9(x-9)+20\]
（19）因数分解してください。
\[(a+5)^{2}+(a+5)\]
（20）因数分解してください。
\[8(x+8)+64\]
置きかえて因数分解する問題（計算式）
（1）（ ）を「A」で置きかえます。そして、式の形をすこし変えると、どのように因数分解すればいいのかがわかるのではないでしょうか。
\[(A)^2-(6)^2\]
つぎのようになります。
\[(A+6)(A-6)\]
Aをもとに戻すとつぎのようになります。
\[(a+4+6)(a+4-6)\]
なお、式を見て因数分解できるのならば、Aに置きかえる必要はありません。
\[(a+4)^2-(6)^2\]
（2）（ ）を「A」で置きかえます。そして、式の形をすこし変えると、どのように因数分解すればいいのかがわかるのではないでしょうか。
\[A^2+2×A×8+(8)^2\]
つぎのようになります。
\[(A+8)^2\]
Aをもとに戻すとつぎのようになります。
\[(x-5+8)^2\]
なお、式を見て因数分解できるのならば、Aに置きかえる必要はありません。
\[(x-5)^2+2×(x-5)×8+(8)^2\]
（3）（ ）を「A」で置きかえます。そして、式の形をすこし変えると、どのように因数分解すればいいのかがわかるのではないでしょうか。
\[A^2+2×A×8+(8)^2\]
つぎのようになります。
\[(A+8)^2\]
Aをもとに戻すとつぎのようになります。
\[(a-7+8)^2\]
なお、式を見て因数分解できるのならば、Aに置きかえる必要はありません。
\[(a-7)^2+2×(a-7)×8+(8)^2\]
（4）（ ）を「A」で置きかえます。そして、式の形をすこし変えると、どのように因数分解すればいいのかがわかるのではないでしょうか。
\[A^{2}+5A\]
つぎのようになります。
\[A(A+5)\]
Aをもとに戻すとつぎのようになります。
\[(a-5)(a-5+5)\]
なお、式を見て因数分解できるのならば、Aに置きかえる必要はありません。
\[(a-5)×(a-5)+(a-5)×5\]
（5）（ ）を「A」で置きかえます。そして、式の形をすこし変えると、どのように因数分解すればいいのかがわかるのではないでしょうか。
\[A^2+\{7+(-9)\}A+7×(-9)\]
つぎのようになります。
\[(A+7)(A-9)\]
Aをもとに戻すとつぎのようになります。
\[(x+8+7)(x+8-9)\]
なお、式を見て因数分解できるのならば、Aに置きかえる必要はありません。
\[(x+8)^2+\{7+(-9)\}(x+8)+7×(-9)\]
（6）（ ）を「A」で置きかえます。そして、式の形をすこし変えると、どのように因数分解すればいいのかがわかるのではないでしょうか。
\[A^2-2×A×2+(2)^2\]
つぎのようになります。
\[(A-2)^2\]
Aをもとに戻すとつぎのようになります。
\[(x+7-2)^2\]
なお、式を見て因数分解できるのならば、Aに置きかえる必要はありません。
\[(x+7)^2-2×(x+7)×2+(2)^2\]
（7）（ ）を「A」で置きかえます。そして、式の形をすこし変えると、どのように因数分解すればいいのかがわかるのではないでしょうか。
\[-3A^{2}+24A\]
つぎのようになります。
\[-3A(A-8)\]
Aをもとに戻すとつぎのようになります。
\[-3(x+8)(x+8-8)\]
なお、式を見て因数分解できるのならば、Aに置きかえる必要はありません。
\[(-3)(x+8)×(x+8)+(-3)(x+8)×(-8)\]
（8）（ ）を「A」で置きかえます。そして、式の形をすこし変えると、どのように因数分解すればいいのかがわかるのではないでしょうか。
\[A^2-2×A×7+(7)^2\]
つぎのようになります。
\[(A-7)^2\]
Aをもとに戻すとつぎのようになります。
\[(a+7-7)^2\]
なお、式を見て因数分解できるのならば、Aに置きかえる必要はありません。
\[(a+7)^2-2×(a+7)×7+(7)^2\]
（9）（ ）を「A」で置きかえます。そして、式の形をすこし変えると、どのように因数分解すればいいのかがわかるのではないでしょうか。
\[-9A^{2}+9A\]
つぎのようになります。
\[-9A(A-1)\]
Aをもとに戻すとつぎのようになります。
\[-9(x-7)(x-7-1)\]
なお、式を見て因数分解できるのならば、Aに置きかえる必要はありません。
\[(-9)(x-7)×(x-7)+(-9)(x-7)×(-1)\]
（10）（ ）を「A」で置きかえます。そして、式の形をすこし変えると、どのように因数分解すればいいのかがわかるのではないでしょうか。
\[A^{2}+A\]
つぎのようになります。
\[A(A+1)\]
Aをもとに戻すとつぎのようになります。
\[(x+6)(x+6+1)\]
なお、式を見て因数分解できるのならば、Aに置きかえる必要はありません。
\[(x+6)×(x+6)+(x+6)×1\]
（11）（ ）を「A」で置きかえます。そして、式の形をすこし変えると、どのように因数分解すればいいのかがわかるのではないでしょうか。
\[A^2+\{(-7)+(-2)\}A+(-7)×(-2)\]
つぎのようになります。
\[(A-7)(A-2)\]
Aをもとに戻すとつぎのようになります。
\[(a-7-7)(a-7-2)\]
なお、式を見て因数分解できるのならば、Aに置きかえる必要はありません。
\[(a-7)^2+\{(-7)+(-2)\}(a-7)+(-7)×(-2)\]
（12）（ ）を「A」で置きかえます。そして、式の形をすこし変えると、どのように因数分解すればいいのかがわかるのではないでしょうか。
\[A^{2}-8A\]
つぎのようになります。
\[A(A-8)\]
Aをもとに戻すとつぎのようになります。
\[(x-4)(x-4-8)\]
なお、式を見て因数分解できるのならば、Aに置きかえる必要はありません。
\[(x-4)×(x-4)+(x-4)×(-8)\]
（13）（ ）を「A」で置きかえます。そして、式の形をすこし変えると、どのように因数分解すればいいのかがわかるのではないでしょうか。
\[-4A^{2}-28A\]
つぎのようになります。
\[-4A(A+7)\]
Aをもとに戻すとつぎのようになります。
\[-4(x+2)(x+2+7)\]
なお、式を見て因数分解できるのならば、Aに置きかえる必要はありません。
\[(-4)(x+2)×(x+2)+(-4)(x+2)×7\]
（14）（ ）を「A」で置きかえます。そして、式の形をすこし変えると、どのように因数分解すればいいのかがわかるのではないでしょうか。
\[6A^{2}+12A\]
つぎのようになります。
\[6A(A+2)\]
Aをもとに戻すとつぎのようになります。
\[6(a+1)(a+1+2)\]
なお、式を見て因数分解できるのならば、Aに置きかえる必要はありません。
\[6(a+1)×(a+1)+6(a+1)×2\]
（15）（ ）を「A」で置きかえます。そして、式の形をすこし変えると、どのように因数分解すればいいのかがわかるのではないでしょうか。
\[-8A^{2}-8A\]
つぎのようになります。
\[-8A(A+1)\]
Aをもとに戻すとつぎのようになります。
\[-8(a+9)(a+9+1)\]
なお、式を見て因数分解できるのならば、Aに置きかえる必要はありません。
\[(-8)(a+9)×(a+9)+(-8)(a+9)×1\]
（16）（ ）を「A」で置きかえます。そして、式の形をすこし変えると、どのように因数分解すればいいのかがわかるのではないでしょうか。
\[-3A-3\]
つぎのようになります。
\[-3(A+1)\]
Aをもとに戻すとつぎのようになります。
\[-3(a+8+1)\]
なお、式を見て因数分解できるのならば、Aに置きかえる必要はありません。
\[(-3)×(a+8)+(-3)×1\]
（17）（ ）を「A」で置きかえます。そして、式の形をすこし変えると、どのように因数分解すればいいのかがわかるのではないでしょうか。
\[2A^{2}-10A\]
つぎのようになります。
\[2A(A-5)\]
Aをもとに戻すとつぎのようになります。
\[2(a-7)(a-7-5)\]
なお、式を見て因数分解できるのならば、Aに置きかえる必要はありません。
\[2(a-7)×(a-7)+2(a-7)×(-5)\]
（18）（ ）を「A」で置きかえます。そして、式の形をすこし変えると、どのように因数分解すればいいのかがわかるのではないでしょうか。
\[A^2+\{(-5)+(-4)\}A+(-5)×(-4)\]
つぎのようになります。
\[(A-5)(A-4)\]
Aをもとに戻すとつぎのようになります。
\[(x-9-5)(x-9-4)\]
なお、式を見て因数分解できるのならば、Aに置きかえる必要はありません。
\[(x-9)^2+\{(-5)+(-4)\}(x-9)+(-5)×(-4)\]
（19）（ ）を「A」で置きかえます。そして、式の形をすこし変えると、どのように因数分解すればいいのかがわかるのではないでしょうか。
\[A^{2}+A\]
つぎのようになります。
\[A(A+1)\]
Aをもとに戻すとつぎのようになります。
\[(a+5)(a+5+1)\]
なお、式を見て因数分解できるのならば、Aに置きかえる必要はありません。
\[(a+5)×(a+5)+(a+5)×1\]
（20）（ ）を「A」で置きかえます。そして、式の形をすこし変えると、どのように因数分解すればいいのかがわかるのではないでしょうか。
\[8A+64\]
つぎのようになります。
\[8(A+8)\]
Aをもとに戻すとつぎのようになります。
\[8(x+8+8)\]
なお、式を見て因数分解できるのならば、Aに置きかえる必要はありません。
\[8×(x+8)+8×8\]
置きかえて因数分解する問題（解答）
人は誰しもケアレスミスなどの計算ミスをするものです。特に緊張を強いられる試験では顕著です。そのようなミスはどうやっても防げないというひともいますが、それは間違いです。計算ミスを防ぐ方法はあります。
それは、ひたすら計算問題を解くだけです。解いた問題が多ければ多いほど、緊張しても正確に計算できるようになります。
単純な方法ですが、効果てきめんです。ケアレスミスをなくすだけで数学の成績はあがるので、何度も繰り返し問題を解きましょう。
（1）答えはつぎのようになります。
\[(a+10)(a-2)\]
（2）答えはつぎのようになります。
\[(x+3)^2\]
（3）答えはつぎのようになります。
\[(a+1)^2\]
（4）答えはつぎのようになります。
\[1(a-5)\]
（5）答えはつぎのようになります。
\[(x+15)(x-1)\]
（6）答えはつぎのようになります。
\[(x+5)^2\]
（7）答えはつぎのようになります。
\[-3(x+8)\]
（8）答えはつぎのようになります。
\[a^2\]
（9）答えはつぎのようになります。
\[-(x-7)(x-8)\]
（10）答えはつぎのようになります。
\[(x+6)(x+7)\]
（11）答えはつぎのようになります。
\[(a-14)(a-9)\]
（12）答えはつぎのようになります。
\[(x-4)(x-12)\]
（13）答えはつぎのようになります。
\[-(x+2)(x+9)\]
（14）答えはつぎのようになります。
\[(a+1)(a+3)\]
（15）答えはつぎのようになります。
\[-(a+9)(a+10)\]
（16）答えはつぎのようになります。
\[-3(a+9)\]
（17）答えはつぎのようになります。
\[(a-7)(a-12)\]
（18）答えはつぎのようになります。
\[(x-14)(x-13)\]
（19）答えはつぎのようになります。
\[(a+5)(a+6)\]
（20）答えはつぎのようになります。
\[8(x+16)\]