【中学数学】置きかえて因数分解する問題 No.119
どうも、『0からやりなおす中学数学の計算問題』（総合科学出版）などの著書がある石崎です。さて、因数分解はどのように解けばいいのでしょうか。最初に共通項でくくります。
つぎに、どの公式にあてはめればいいのかを考えます。たくさんの問題を解いて慣れればどの公式にあてはめられるのかがわかります。というわけで、因数分解の演習問題を解きましょう。
＜はじめてのひとへ＞
・数式の表示は、MathJaxを利用しています。数式を表示させるにはネット接続とJavascriptを「オン」にすることが必要です。
・このページは印刷できます。詳しい方法は、計算問題を印刷する方法をご覧になってください。
・計算のしかたを工夫すれば楽に計算できるケースもあります。計算式はあくまで目安ですので、あらかじめご了承ください。
・計算問題のページには、ほかにも、たくさん計算問題があります。
＜出題内容＞
・対象：中学三年生（中学数学）
・種類：因数分解（置きかえて因数分解する問題）
・因数分解の方法：因数分解
・問題数：15問
※公式
\[x^2-y^2=(x+y)(x-y)\]\[x^2+2xy+y^2=(x+y)^2\]\[x^2-2xy+y^2=(x-y)^2\]\[x^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)\]\[x^2+(ay+by)x+aby^2=(x+ay)(x+by)\]
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置きかえて因数分解する問題
（1）因数分解してください。
\[-(a+3)^{2}-7(a+3)\]
（2）因数分解してください。
\[(x+8)^2+9(x+8)+20\]
（3）因数分解してください。
\[5(x-5)^{2}-5(x-5)\]
（4）因数分解してください。
\[(a+1)^2-10(a+1)+25\]
（5）因数分解してください。
\[-(x+4)^{2}-(x+4)\]
（6）因数分解してください。
\[-9(a-6)^{2}+45(a-6)\]
（7）因数分解してください。
\[-9(x-8)^{2}-81(x-8)\]
（8）因数分解してください。
\[(x-7)^2+14(x-7)+49\]
（9）因数分解してください。
\[2(a-3)^{2}-2(a-3)\]
（10）因数分解してください。
\[(a-8)^2-25\]
（11）因数分解してください。
\[(a+3)^2-25\]
（12）因数分解してください。
\[(x-1)^2+14(x-1)+49\]
（13）因数分解してください。
\[(a-7)^2-25\]
（14）因数分解してください。
\[-5(x-8)^{2}+10(x-8)\]
（15）因数分解してください。
\[(x-7)^2+4(x-7)-45\]
置きかえて因数分解する問題（計算式）
（1）（ ）を「A」で置きかえます。そして、式の形をすこし変えると、どのように因数分解すればいいのかがわかるのではないでしょうか。
\[-A^{2}-7A\]
つぎのようになります。
\[-A(A+7)\]
Aをもとに戻すとつぎのようになります。
\[-(a+3)(a+3+7)\]
なお、式を見て因数分解できるのならば、Aに置きかえる必要はありません。
\[-(a+3)×(a+3)-(a+3)×7\]
（2）（ ）を「A」で置きかえます。そして、式の形をすこし変えると、どのように因数分解すればいいのかがわかるのではないでしょうか。
\[A^2+(5+4)A+5×4\]
つぎのようになります。
\[(A+5)(A+4)\]
Aをもとに戻すとつぎのようになります。
\[(x+8+5)(x+8+4)\]
なお、式を見て因数分解できるのならば、Aに置きかえる必要はありません。
\[(x+8)^2+(5+4)(x+8)+5×4\]
（3）（ ）を「A」で置きかえます。そして、式の形をすこし変えると、どのように因数分解すればいいのかがわかるのではないでしょうか。
\[5A^{2}-5A\]
つぎのようになります。
\[5A(A-1)\]
Aをもとに戻すとつぎのようになります。
\[5(x-5)(x-5-1)\]
なお、式を見て因数分解できるのならば、Aに置きかえる必要はありません。
\[5(x-5)×(x-5)+5(x-5)×(-1)\]
（4）（ ）を「A」で置きかえます。そして、式の形をすこし変えると、どのように因数分解すればいいのかがわかるのではないでしょうか。
\[A^2-2×A×5+(5)^2\]
つぎのようになります。
\[(A-5)^2\]
Aをもとに戻すとつぎのようになります。
\[(a+1-5)^2\]
なお、式を見て因数分解できるのならば、Aに置きかえる必要はありません。
\[(a+1)^2-2×(a+1)×5+(5)^2\]
（5）（ ）を「A」で置きかえます。そして、式の形をすこし変えると、どのように因数分解すればいいのかがわかるのではないでしょうか。
\[-A^{2}-A\]
つぎのようになります。
\[-A(A+1)\]
Aをもとに戻すとつぎのようになります。
\[-(x+4)(x+4+1)\]
なお、式を見て因数分解できるのならば、Aに置きかえる必要はありません。
\[-(x+4)×(x+4)-(x+4)×1\]
（6）（ ）を「A」で置きかえます。そして、式の形をすこし変えると、どのように因数分解すればいいのかがわかるのではないでしょうか。
\[-9A^{2}+45A\]
つぎのようになります。
\[-9A(A-5)\]
Aをもとに戻すとつぎのようになります。
\[-9(a-6)(a-6-5)\]
なお、式を見て因数分解できるのならば、Aに置きかえる必要はありません。
\[(-9)(a-6)×(a-6)+(-9)(a-6)×(-5)\]
（7）（ ）を「A」で置きかえます。そして、式の形をすこし変えると、どのように因数分解すればいいのかがわかるのではないでしょうか。
\[-9A^{2}-81A\]
つぎのようになります。
\[-9A(A+9)\]
Aをもとに戻すとつぎのようになります。
\[-9(x-8)(x-8+9)\]
なお、式を見て因数分解できるのならば、Aに置きかえる必要はありません。
\[(-9)(x-8)×(x-8)+(-9)(x-8)×9\]
（8）（ ）を「A」で置きかえます。そして、式の形をすこし変えると、どのように因数分解すればいいのかがわかるのではないでしょうか。
\[A^2+2×A×7+(7)^2\]
つぎのようになります。
\[(A+7)^2\]
Aをもとに戻すとつぎのようになります。
\[(x-7+7)^2\]
なお、式を見て因数分解できるのならば、Aに置きかえる必要はありません。
\[(x-7)^2+2×(x-7)×7+(7)^2\]
（9）（ ）を「A」で置きかえます。そして、式の形をすこし変えると、どのように因数分解すればいいのかがわかるのではないでしょうか。
\[2A^{2}-2A\]
つぎのようになります。
\[2A(A-1)\]
Aをもとに戻すとつぎのようになります。
\[2(a-3)(a-3-1)\]
なお、式を見て因数分解できるのならば、Aに置きかえる必要はありません。
\[2(a-3)×(a-3)+2(a-3)×(-1)\]
（10）（ ）を「A」で置きかえます。そして、式の形をすこし変えると、どのように因数分解すればいいのかがわかるのではないでしょうか。
\[(A)^2-(5)^2\]
つぎのようになります。
\[(A+5)(A-5)\]
Aをもとに戻すとつぎのようになります。
\[(a-8+5)(a-8-5)\]
なお、式を見て因数分解できるのならば、Aに置きかえる必要はありません。
\[(a-8)^2-(5)^2\]
（11）（ ）を「A」で置きかえます。そして、式の形をすこし変えると、どのように因数分解すればいいのかがわかるのではないでしょうか。
\[(A)^2-(5)^2\]
つぎのようになります。
\[(A+5)(A-5)\]
Aをもとに戻すとつぎのようになります。
\[(a+3+5)(a+3-5)\]
なお、式を見て因数分解できるのならば、Aに置きかえる必要はありません。
\[(a+3)^2-(5)^2\]
（12）（ ）を「A」で置きかえます。そして、式の形をすこし変えると、どのように因数分解すればいいのかがわかるのではないでしょうか。
\[A^2+2×A×7+(7)^2\]
つぎのようになります。
\[(A+7)^2\]
Aをもとに戻すとつぎのようになります。
\[(x-1+7)^2\]
なお、式を見て因数分解できるのならば、Aに置きかえる必要はありません。
\[(x-1)^2+2×(x-1)×7+(7)^2\]
（13）（ ）を「A」で置きかえます。そして、式の形をすこし変えると、どのように因数分解すればいいのかがわかるのではないでしょうか。
\[(A)^2-(5)^2\]
つぎのようになります。
\[(A+5)(A-5)\]
Aをもとに戻すとつぎのようになります。
\[(a-7+5)(a-7-5)\]
なお、式を見て因数分解できるのならば、Aに置きかえる必要はありません。
\[(a-7)^2-(5)^2\]
（14）（ ）を「A」で置きかえます。そして、式の形をすこし変えると、どのように因数分解すればいいのかがわかるのではないでしょうか。
\[-5A^{2}+10A\]
つぎのようになります。
\[-5A(A-2)\]
Aをもとに戻すとつぎのようになります。
\[-5(x-8)(x-8-2)\]
なお、式を見て因数分解できるのならば、Aに置きかえる必要はありません。
\[(-5)(x-8)×(x-8)+(-5)(x-8)×(-2)\]
（15）（ ）を「A」で置きかえます。そして、式の形をすこし変えると、どのように因数分解すればいいのかがわかるのではないでしょうか。
\[A^2+\{(-5)+9\}A+(-5)×9\]
つぎのようになります。
\[(A-5)(A+9)\]
Aをもとに戻すとつぎのようになります。
\[(x-7-5)(x-7+9)\]
なお、式を見て因数分解できるのならば、Aに置きかえる必要はありません。
\[(x-7)^2+\{(-5)+9\}(x-7)+(-5)×9\]
置きかえて因数分解する問題（解答）
勉強のコツは、まずはテキストや参考書を読んでしっかり理解することが大切です。そのとき、数学が嫌いならば、わかりやすいテキストや参考書を探すといいでしょう。
つぎに演習問題を解きます。数学が得意なひとほど良問を解くといいといいますが、数学が苦手なひとにはお勧めしません。同じタイプの問題も数字を変えるだけで間違えてしまうためです。そこで、数値だけ変えた練習問題を解いていくといいでしょう。そのような練習問題があるのが、まさしくこのウェブサイトです。
（1）答えはつぎのようになります。
\[-(a+3)(a+10)\]
（2）答えはつぎのようになります。
\[(x+13)(x+12)\]
（3）答えはつぎのようになります。
\[(x-5)(x-6)\]
（4）答えはつぎのようになります。
\[(a-4)^2\]
（5）答えはつぎのようになります。
\[-(x+4)(x+5)\]
（6）答えはつぎのようになります。
\[-(a-6)(a-11)\]
（7）答えはつぎのようになります。
\[-(x-8)(x+1)\]
（8）答えはつぎのようになります。
\[(x+0)^2\]
（9）答えはつぎのようになります。
\[(a-3)(a-4)\]
（10）答えはつぎのようになります。
\[(a-3)(a-13)\]
（11）答えはつぎのようになります。
\[(a+8)(a-2)\]
（12）答えはつぎのようになります。
\[(x+6)^2\]
（13）答えはつぎのようになります。
\[(a-2)(a-12)\]
（14）答えはつぎのようになります。
\[-(x-8)(x-10)\]
（15）答えはつぎのようになります。
\[(x-12)(x+2)\]