【中学数学】置きかえて因数分解する問題 No.114
こんにちは、石崎です。『5つのパターンで9割わかる！中学数学の文章題』（総合科学出版）などの著者です。ほかにも、さまざまなジャンルの著書があります。
いきなりですが、因数分解はどのように解けばいいのでしょうか。まずは共通項でくくります。
つぎに、どの公式にあてはめればいいのかを考えます。たくさんの問題を解いて慣れればどの公式にあてはめられるのかがわかるようになります。というわけで、因数分解の演習問題を解きましょう。
＜はじめてのひとへ＞
・数式の表示は、MathJaxを利用しています。数式を表示させるにはネット接続とJavascriptを「オン」にすることが必要です。
・このページは印刷できます。詳しい方法は、計算問題を印刷する方法をご覧になってください。
・計算のしかたを工夫すれば楽に計算できるケースもあります。計算式はあくまで目安ですので、あらかじめご了承ください。
・計算問題のページには、ほかにも、たくさん計算問題があります。
＜出題内容＞
・対象：中学三年生（中学数学）
・種類：因数分解（置きかえて因数分解する問題）
・因数分解の方法：因数分解
・問題数：15問
※公式
\[x^2-y^2=(x+y)(x-y)\]\[x^2+2xy+y^2=(x+y)^2\]\[x^2-2xy+y^2=(x-y)^2\]\[x^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)\]\[x^2+(ay+by)x+aby^2=(x+ay)(x+by)\]
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置きかえて因数分解する問題
（1）因数分解してください。
\[(a-8)^2+6(a-8)-16\]
（2）因数分解してください。
\[(a-6)^2-16\]
（3）因数分解してください。
\[-(x-1)^{2}+(x-1)\]
（4）因数分解してください。
\[-3(x-8)^{2}-9(x-8)\]
（5）因数分解してください。
\[7(a-7)^{2}+7(a-7)\]
（6）因数分解してください。
\[4(a-3)^{2}+8(a-3)\]
（7）因数分解してください。
\[(a+9)^2-25\]
（8）因数分解してください。
\[-9(x+7)+9\]
（9）因数分解してください。
\[(x+4)^2+16(x+4)+64\]
（10）因数分解してください。
\[6(x+6)^{2}-42(x+6)\]
（11）因数分解してください。
\[(x+4)^2-25\]
（12）因数分解してください。
\[-(a-5)^{2}+7(a-5)\]
（13）因数分解してください。
\[(x+9)^2+6(x+9)+9\]
（14）因数分解してください。
\[4(x+9)+16\]
（15）因数分解してください。
\[(a-1)^2-1(a-1)-56\]
置きかえて因数分解する問題（計算式）
（1）（ ）を「A」で置きかえます。そして、式の形をすこし変えると、どのように因数分解すればいいのかがわかるのではないでしょうか。
\[A^2+\{(-2)+8\}A+(-2)×8\]
つぎのようになります。
\[(A-2)(A+8)\]
Aをもとに戻すとつぎのようになります。
\[(a-8-2)(a-8+8)\]
なお、式を見て因数分解できるのならば、Aに置きかえる必要はありません。
\[(a-8)^2+\{(-2)+8\}(a-8)+(-2)×8\]
（2）（ ）を「A」で置きかえます。そして、式の形をすこし変えると、どのように因数分解すればいいのかがわかるのではないでしょうか。
\[(A)^2-(4)^2\]
つぎのようになります。
\[(A+4)(A-4)\]
Aをもとに戻すとつぎのようになります。
\[(a-6+4)(a-6-4)\]
なお、式を見て因数分解できるのならば、Aに置きかえる必要はありません。
\[(a-6)^2-(4)^2\]
（3）（ ）を「A」で置きかえます。そして、式の形をすこし変えると、どのように因数分解すればいいのかがわかるのではないでしょうか。
\[-A^{2}+A\]
つぎのようになります。
\[-A(A-1)\]
Aをもとに戻すとつぎのようになります。
\[-(x-1)(x-1-1)\]
なお、式を見て因数分解できるのならば、Aに置きかえる必要はありません。
\[-(x-1)×(x-1)-(x-1)×(-1)\]
（4）（ ）を「A」で置きかえます。そして、式の形をすこし変えると、どのように因数分解すればいいのかがわかるのではないでしょうか。
\[-3A^{2}-9A\]
つぎのようになります。
\[-3A(A+3)\]
Aをもとに戻すとつぎのようになります。
\[-3(x-8)(x-8+3)\]
なお、式を見て因数分解できるのならば、Aに置きかえる必要はありません。
\[(-3)(x-8)×(x-8)+(-3)(x-8)×3\]
（5）（ ）を「A」で置きかえます。そして、式の形をすこし変えると、どのように因数分解すればいいのかがわかるのではないでしょうか。
\[7A^{2}+7A\]
つぎのようになります。
\[7A(A+1)\]
Aをもとに戻すとつぎのようになります。
\[7(a-7)(a-7+1)\]
なお、式を見て因数分解できるのならば、Aに置きかえる必要はありません。
\[7(a-7)×(a-7)+7(a-7)×1\]
（6）（ ）を「A」で置きかえます。そして、式の形をすこし変えると、どのように因数分解すればいいのかがわかるのではないでしょうか。
\[4A^{2}+8A\]
つぎのようになります。
\[4A(A+2)\]
Aをもとに戻すとつぎのようになります。
\[4(a-3)(a-3+2)\]
なお、式を見て因数分解できるのならば、Aに置きかえる必要はありません。
\[4(a-3)×(a-3)+4(a-3)×2\]
（7）（ ）を「A」で置きかえます。そして、式の形をすこし変えると、どのように因数分解すればいいのかがわかるのではないでしょうか。
\[(A)^2-(5)^2\]
つぎのようになります。
\[(A+5)(A-5)\]
Aをもとに戻すとつぎのようになります。
\[(a+9+5)(a+9-5)\]
なお、式を見て因数分解できるのならば、Aに置きかえる必要はありません。
\[(a+9)^2-(5)^2\]
（8）（ ）を「A」で置きかえます。そして、式の形をすこし変えると、どのように因数分解すればいいのかがわかるのではないでしょうか。
\[-9A+9\]
つぎのようになります。
\[-9(A-1)\]
Aをもとに戻すとつぎのようになります。
\[-9(x+7-1)\]
なお、式を見て因数分解できるのならば、Aに置きかえる必要はありません。
\[(-9)×(x+7)+(-9)×(-1)\]
（9）（ ）を「A」で置きかえます。そして、式の形をすこし変えると、どのように因数分解すればいいのかがわかるのではないでしょうか。
\[A^2+2×A×8+(8)^2\]
つぎのようになります。
\[(A+8)^2\]
Aをもとに戻すとつぎのようになります。
\[(x+4+8)^2\]
なお、式を見て因数分解できるのならば、Aに置きかえる必要はありません。
\[(x+4)^2+2×(x+4)×8+(8)^2\]
（10）（ ）を「A」で置きかえます。そして、式の形をすこし変えると、どのように因数分解すればいいのかがわかるのではないでしょうか。
\[6A^{2}-42A\]
つぎのようになります。
\[6A(A-7)\]
Aをもとに戻すとつぎのようになります。
\[6(x+6)(x+6-7)\]
なお、式を見て因数分解できるのならば、Aに置きかえる必要はありません。
\[6(x+6)×(x+6)+6(x+6)×(-7)\]
（11）（ ）を「A」で置きかえます。そして、式の形をすこし変えると、どのように因数分解すればいいのかがわかるのではないでしょうか。
\[(A)^2-(5)^2\]
つぎのようになります。
\[(A+5)(A-5)\]
Aをもとに戻すとつぎのようになります。
\[(x+4+5)(x+4-5)\]
なお、式を見て因数分解できるのならば、Aに置きかえる必要はありません。
\[(x+4)^2-(5)^2\]
（12）（ ）を「A」で置きかえます。そして、式の形をすこし変えると、どのように因数分解すればいいのかがわかるのではないでしょうか。
\[-A^{2}+7A\]
つぎのようになります。
\[-A(A-7)\]
Aをもとに戻すとつぎのようになります。
\[-(a-5)(a-5-7)\]
なお、式を見て因数分解できるのならば、Aに置きかえる必要はありません。
\[-(a-5)×(a-5)-(a-5)×(-7)\]
（13）（ ）を「A」で置きかえます。そして、式の形をすこし変えると、どのように因数分解すればいいのかがわかるのではないでしょうか。
\[A^2+2×A×3+(3)^2\]
つぎのようになります。
\[(A+3)^2\]
Aをもとに戻すとつぎのようになります。
\[(x+9+3)^2\]
なお、式を見て因数分解できるのならば、Aに置きかえる必要はありません。
\[(x+9)^2+2×(x+9)×3+(3)^2\]
（14）（ ）を「A」で置きかえます。そして、式の形をすこし変えると、どのように因数分解すればいいのかがわかるのではないでしょうか。
\[4A+16\]
つぎのようになります。
\[4(A+4)\]
Aをもとに戻すとつぎのようになります。
\[4(x+9+4)\]
なお、式を見て因数分解できるのならば、Aに置きかえる必要はありません。
\[4×(x+9)+4×4\]
（15）（ ）を「A」で置きかえます。そして、式の形をすこし変えると、どのように因数分解すればいいのかがわかるのではないでしょうか。
\[A^2+\{7+(-8)\}A+7×(-8)\]
つぎのようになります。
\[(A+7)(A-8)\]
Aをもとに戻すとつぎのようになります。
\[(a-1+7)(a-1-8)\]
なお、式を見て因数分解できるのならば、Aに置きかえる必要はありません。
\[(a-1)^2+\{7+(-8)\}(a-1)+7×(-8)\]
置きかえて因数分解する問題（解答）
数学は特にケアレスミスを見かけます。「私もだ」と思ったひと、ケアレスミスに悩んでいませんか。実はケアレスミスはシンプルな方法で減らすことができます。どのようにすればいいのでしょうか。
それは、ひたすら問題を解くだけです。解いた問題が多ければ多いほど、緊張しても正確に計算できるようになります。
シンプルな方法ですが、効果てきめんです。計算ミスをなくすだけで数学の成績はあがるので、何度も繰り返し問題を解きましょう。
（1）答えはつぎのようになります。
\[a(a-10)\]
（2）答えはつぎのようになります。
\[(a-2)(a-10)\]
（3）答えはつぎのようになります。
\[-(x-1)(x-2)\]
（4）答えはつぎのようになります。
\[-(x-8)(x-5)\]
（5）答えはつぎのようになります。
\[(a-7)(a-6)\]
（6）答えはつぎのようになります。
\[(a-3)(a-1)\]
（7）答えはつぎのようになります。
\[(a+14)(a+4)\]
（8）答えはつぎのようになります。
\[-9(x+6)\]
（9）答えはつぎのようになります。
\[(x+12)^2\]
（10）答えはつぎのようになります。
\[(x+6)(x-1)\]
（11）答えはつぎのようになります。
\[(x+9)(x-1)\]
（12）答えはつぎのようになります。
\[-(a-5)(a-12)\]
（13）答えはつぎのようになります。
\[(x+12)^2\]
（14）答えはつぎのようになります。
\[4(x+13)\]
（15）答えはつぎのようになります。
\[(a+6)(a-9)\]