場合の数と確率

●問題
「1,2,3,4,5の数が1つずつ書かれた5枚のカードがある。このカードをよくきってから、まず1枚のカードをひき、続けて 残りの4枚のカードからもう1枚をひく。このとき、ひいた2枚のカードに書かれた数の積が3の倍数になる確率を求めなさい。」

中学生の確率としては、ちょっと難しいかも知れません。わかることをひとつひとつ求めていきましょう!

■重要
数式は以下のルールに従って書いています。
分数・・・2分の1 → 1/2、5分の3掛けるx → (3/5)x
次数・・・xの2乗 → x^2、2xの2乗 → 2x^2

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方向性

全体の場合の数と、そのときの場合の数を求める。

解法

確率というのは、その想定した事柄がどのくらい起こりやすいかを数字で表したものです。
全体でどのくらいのパターンがあって、その中の何通りが想定した事柄に当てはまるのかを考えます。

つまり、全体の場合の数とその時の場合の数を求めて、「全体分のその時」をやってみればよい。ということですね。

この場合は、「全体」が「5枚のカードから2枚をとる」ときで、「その時」が「2枚のカードの数の積が3の倍数である」ときですね。

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まずは「全体」の場合の数を求めてみましょう!

樹形図を描いたり、表を書いたり、単に数えてみたり・・・といろいろな方法がありますが、ここでは論理的なイメージと計算によって求めてみようと思います。

複数の事柄の場合の数を求める場合は、一つずつに分けて考えます。

まず、1枚目。
カードが5枚あるので、5通り。

次に、2枚目。
1枚目で1枚取ってしまったので、残りは4枚。
4枚から1枚取るので、4通り。

ちなみに、「1枚取って数字を確認し、もとに戻す」などとある場合は、2枚目も5通りになりますね。


1枚目が5通りあって、その5通りの取り方それぞれについて2枚目の取り方が4通りずつあることになります。

・・・ということは、4通りが5個分ある。

つまり、「全体」は、4×5=20通りの場合の数があることがわかります。

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次に「その時」の場合の数を求めてみます。

「その時」というのは、「2枚のカードをひいて、その積が3の倍数である」ときですね。

つまり、「二つの数の積が3の倍数である」と言っても同じです。
二つの数をかけて、3の倍数になるときはどんなときでしょうか?

二つの数の少なくとも片方に3の倍数が入っているときです。

仮に1枚目に3が出たとします。
すると、2枚目は残り4枚の何でもいいので、4通り。

1枚目に3が出なかったとします。
1枚目に3が出ないのは、3以外を引いた場合なので、4通り。
1枚目に3以外のどれをひいても、2枚目は3でなければいけないので、それぞれについて1通り。
つまり、1枚目に3が出なかった場合は4×1=4通り。

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確率を求める問題なので、今までに求めた場合の数を「全体分のその時」に当てはめてみます。

まず、1枚目が3になる場合は・・・4/20=1/5

次に、2枚目が3になる場合は・・・4/20=1/5

これらの合計が求める確率ですね!

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解答

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