式の計算の証明
●問題
「連続する３つの整数がある。真ん中の数から１を引いた数は最大の数と
最小の数の積に等しい。このことを証明せよ。」
こんな問題に苦戦している中学３年生も多いのではないでしょうか。
とにかく、問題文で言っている通りに式を作って計算してみればＯＫです。
■重要
数式は以下のルールに従って書いています。
分数・・・２分の１ → １／２、５分の３掛けるｘ → （３／５）ｘ
次数・・・ｘの２乗 → ｘ＾２、２ｘの２乗 → ２ｘ＾２
スポンサード リンク
方向性
連続する３つの整数を表し、式を作る。
解法
証明に限らず、文章問題では、まずは何らかの数量を文字で表します。
この場合は「連続する３つの整数がある」と言っているので、この３つの整数を文字で表せば良さそうです。
その前に、問題文で言っている事柄が本当なのか疑問に思いませんか？って言うか、「アタナハナニヲイッテイルノデスカ〜？」みたいになっていませんか？（笑）
------------------------------------------------------------------------
イメージを掴むためにも、実際の整数を用いた場合にどんなふうになるのかやってみましょう。
例えば、「１，２，３」の場合は、「真ん中の数から１を引いた数は最大の数と最小の数の積に等しい」のでしょうか？
この場合「真ん中の数」は２ですね。
２^2−１＝３
「最大の数」は３で、「最小の数」は１になりそうです。これらを掛けると、
３×１＝３
ってことで、なんと！！一致しました！！
んじゃ、他の場合も試してみましょう。ちょっと数字を大きくして・・・
「２０，２１，２２」の場合でも試してみましょう！
２１^2−１＝４４０
２２×２０＝４４０
やっぱり同じになってしまいました！！
「整数」なので、マイナスやゼロの場合も大丈夫のはずです。
「−２，−１，０」なんて組み合わせはどうでしょうか？
(−１)^2−１＝０
０×(−２)＝０
これでも等しくなってしまうのか〜！！参りました！？(笑)
------------------------------------------------------------------------
まだ３つしかやってないけど、どんな整数でも当てはまりそうだ。ってことは感じてもらえたのではないかと思います。
さて、計算式を証明する場合は数字ではなくて、文字で等しいことを示さなければいけませんね。「文字で」と言われると、途端に混乱してしまう人が多いですが、今考えた数字の場合がわかるなら、誰でもきっとわかります。
だって、全く同じ事を文字でもすればいいんだもん！(笑)
つまり、まずは「連続する３つの整数」を適当な文字で置く。
例えば最小の数を「ｘ」としたら、真ん中の数は「ｘ＋１」、最大は「ｘ＋２」。
例えば真ん中の数を「ｎ」としたら、最小は「ｎ−１」、最大は「ｎ＋１」。
例えば最大の数を「ａ」としたら、最小は「ａ−２」、真ん中は「ａ−１」。
このようになりますよね？
文字で読んだだけではわかりにくい場合は、紙にこれらの数や式を書き写してみましょう。きっと納得いくはずです。
どれでもちゃんと「連続する３つの整数」になっているのだから、どの置き方をしても、ちゃんと証明することができます。今回は、一番上の「ｘ，ｘ＋１，ｘ＋２」と置いた場合でやってみようと思います。
------------------------------------------------------------------------
次に、問題文で言っているとおりの式を作る。数字の場合はみなさん難なく(?)やることができると思います。文字の場合も全く同じようにやれば良いのです。
「真ん中の数」は「ｘ＋１」にしたので、これを２乗して１を引きます。
(ｘ＋１)^2−１＝ｘ^2＋２ｘ＋１−１
＝ｘ^2＋２ｘ
とりあえず、普通に計算するとこうなりますね。
「最大の数と最小の数の積」も、そのとおりに計算してみます。
(ｘ＋２)ｘ＝ｘ^2＋２ｘ
「真ん中の数を２乗して１を引いた数」と「最大の数と最小の数の積」は、計算したら一致してしまいました！
よって、真ん中の数を２乗して１を引いた数は最大の数と最小の数の積に等しい。
------------------------------------------------------------------------
こんな感じで証明一丁上がり！！
「連続する３つの整数」を別な置き方にした場合も同様に書いてあることをその通りやりさえすれば、必ず証明問題はできます。
んまぁ、証明ってやつは、ちゃんと筋が通った話をしさえすればＯＫって事です。
他の証明も苦手意識を振り払ってチャレンジしてみましょう〜！！
スポンサード リンク
解答
「真ん中の数を２乗して１を引いた数は最大の数と最小の数の積に等しい」と証明できました！