多角形の性質

●問題
「底面の半径がxcm,高さがycmの円柱がある。 側面積が10πcm^2のときyをxの式で表せ。」

なにやら難しそうに見える問題ですね。・・・が、見た目よりは簡単です。
できるかどうかわからなくても、とりあえずは試してみる事も大事です。

■重要
数式は以下のルールに従って書いています。
分数・・・2分の1 → 1/2、5分の3掛けるx → (3/5)x
次数・・・xの2乗 → x^2、2xの2乗 → 2x^2

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方向性

展開図を書き、等しい関係を見つける。

解法

問題の立体は円柱なので、まずは適当に円柱を描いてみましょう。

「半径も高さもわかってないのに、描けるわけないじゃ〜ん!」

なんて言う人がいますが、xもyもわかってない→xもyどんな値でもとれる。
ということで、半径も高さも適当でいいので円柱を描いてみましょう!

合同な楕円みたいなのを二つ並べて描いて、両端を直線で結んでみれば、だいたい円柱みたいな形になりますね。

・・・描けましたか?
ハイ。描けたということにして、次にいってみます(笑)


問題文で「側面積」とか言っちゃってるので、今度は展開図を描いてみましょう。
上下に半径xcmの円、その間に高さがycmの長方形を描いてみます。

・・・描けましたか?
これがさっきの円柱の展開図・・・のばすです。
展開図が描けたら、すでにわかっていることを図の中に書き込んでみましょう。
これは図形の問題の時には必ずやった方がよいですよ!

底面の半径がxcmだから、上下に描いた円の半径がxcm。
高さがycmだから、間に描いた長方形の縦の長さがycm。
それともう一つ。側面積が10πcm^2だから、長方形の面積が10πcm^2ですね。

問題文から直接わかることは以上ですね。
ここで、もう一度問題文を読み返してみましょう。

「yをxの式で表せ」とあるので、何かしらxとyを使って式を作る必要があります。

ここで一つ注意点。
「yをxの式で表せ」と言われると、いきなり「y= 」と書いて、右辺に何が入るかのみを一生懸命考え込んでしまい、挙げ句の果てにわからなくて諦めてしまう人がたくさんいます。
これはいけません!

「yをxの式で表せ」とあるからとっいて、必ずしも最初からその形の式が作れるとは限らないのです。
yをxの式で表す。というのはとりあえずおいといて、まずは何でもいいから関係式を作る。
関係式ができたら、それをyについて解く。

このように考えるのが良い作戦です。


この問題の場合、側面の面積が10πcm^2とあり、縦の長さがわかっているので、横の長さをxで表すことができれば、xとyを使って何らかの式を作れそうです。


当然ですが、この展開図を組み立てると円柱になります。
円柱の展開図を描いたのだから、組み立てれば円柱になります。
展開図のどこかとどこかが、組み立てると一致します。
・・・よね?
それはどこでしょう?

底面の円周と・・・

側面の長方形の・・・

横の長さですね!

展開図を組み立てて円柱を作ると、底面の円周と側面の長方形の横の長さが等しくなります。
つまり、底面の円周を求めれば、それがそのまま長方形の横の長さだ。ということができますね!

円周は直径かける3.14。つまり、2πrです。
これが側面の長方形の横と一致しますね。

あとは、「側面の縦×横=10π」という式を作って、変形すれば正しい解答が得られるはずです。

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解答

y=5/x

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