余弦定理の公式 その１〜高校数学

余弦定理の公式

●問題
「△ＡＢＣで、ａ＝５、ｂ＝３、ｃ＝４のとき、ｃｏｓＣを求めよ。」

３：４：５だから、直角三角形で、Ｃ＝６０°！・・・ではありませんよ(笑)

■重要
数式は以下のルールに従って書いています。
分数・・・２分の１ → １／２、５分の３掛けるｘ → （３／５）ｘ
次数・・・ｘの２乗 → ｘ＾２、２ｘの２乗 → ２ｘ＾２

方向性

余弦定理を使う。

解法

三角比をやると、９０°６０°３０°の三角形に慣れすぎて、二等辺ではない直角三角形は全て９０°６０°３０°にしてしまう人がいます。これはいけません。
当然のことですが、直角三角形は他にも様々な角度の組み合わせがあります。

しかも、この問題の場合は、ｃｏｓＣを求めるだけなので、角度自体はわかる必要がありません。 わかる必要がないどころか、三角比の表でも使わなければわかりません。
とにかく、ｃｏｓＣの値がわかりさえすればよいです。
問題では、３辺の長さが与えられているので、そんなときは・・・

余弦定理！でしたね。

ａ^2＝ｂ^2＋ｃ^2−２ｂｃ・ｃｏｓＡ

こんな公式です。余弦定理は

・２辺とはさむ角がわかっているとき
・３辺がわかっているとき
・２辺と１角がわかっているとき

などに使います。

ってことで、代入してみます。

　　　　ｃ^2＝ａ^2＋ｂ^2−２ａｂ・ｃｏｓＣ
　　　　４^2＝５^2＋３^2−２・５・３・ｃｏｓＣ
　　　　１６＝２５＋９−３０・ｃｏｓＣ
３０ｃｏｓＣ＝３４−１６
３０ｃｏｓＣ＝１８
　　ｃｏｓＣ＝１８／３０
　　　　　　＝３／５

ちなみに、△ＡＢＣは直角三角形であることを利用して、コサインの定義よりｃｏｓＣ＝３／５としてもＯＫ！

解答

ｃｏｓＣ＝３／５