余弦定理の公式 その１〜高校数学

余弦定理の公式

●問題
「△ＡＢＣで、Ａ＝６０°、ｂ＝２、ｃ＝３のとき、ａを求めよ。」

１角と２辺しかわかっていません。そんなときは・・・？

■重要
数式は以下のルールに従って書いています。
分数・・・２分の１ → １／２、５分の３掛けるｘ → （３／５）ｘ
次数・・・ｘの２乗 → ｘ＾２、２ｘの２乗 → ２ｘ＾２

方向性

余弦定理を使う。

解法

まずは三角形ＡＢＣを描いてください。
頂点Ａの角が６０°、Ｂの対辺がｂで長さは２、Ｃの対辺がｃで長さは３ですね。

ということは、わかっているのは２辺とそのはさむ角です。

これは余弦定理が使える場合のもっとも典型的な例です。余弦定理は

ａ^2＝ｂ^2＋ｃ^2−２ｂｃ・ｃｏｓＡ

こんな公式です。
三平方の定理を、直角三角形でなくても使えるよう拡張したもの。と考えると覚えやすいと思います。
また左辺のａと右辺のｃｏｓＡは、対辺と対角の関係になります。

・２辺とはさむ角がわかっているとき
・３辺がわかっているとき
・２辺と１角がわかっているとき

などに使います。

今回の問題は、余弦定理にｂ＝２，ｃ＝３，Ａ＝６０°を代入して、

ａ^2＝２^2＋３^2−２・２・３・ｃｏｓ６０°
　　＝４＋９−１２・(１／２)
　　＝１３−６
　　＝７

よってａ＝７


・・・とやってはいけません（笑）

ａ^2＝７
なので、ａ＝√７となります。

解答

ａ＝√７