基本的な三角方程式

●問題
「cosθ=1/2のとき、θの値を求めよ。(0°≦θ≦180°)」

最も初歩的な三角方程式の問題です。θを変数ととらえて考えます。

■重要
数式は以下のルールに従って書いています。
分数・・・2分の1 → 1/2、5分の3掛けるx → (3/5)x
次数・・・xの2乗 → x^2、2xの2乗 → 2x^2

スポンサード リンク


方向性

単位円を考える。

解法

三角比の値がわかっていて、角度がわからない場合に、計算で角度を求める。 みたいなことをやるのが三角方程式です。

この場合はコサインの値が1/2とわかっているので、そのとき何度なのかを求めれば良いです。

原点を中心とする半円(単位円)を描いて、x軸の右側の部分から回転した角度がθと考えます。そして、θだけ回転した円周上からx軸に垂線を下ろした場合にできる直角三角形でx,y,rを考えます

この問題ではcosθ=1/2で、一般的にcosθ=x/rなので、r=2,x=1です。

直角三角形で、x=1,r=2ならば、y=√3ですね。
つまり、cosθ=1/2のとき、1:2:√3の直角三角形ができる。というわけです。
x=1,y=√3より、横が1,縦が√3なので、左下が60°、右下が直角の三角形を考えます。

これは、0°のところから60°回転した場合ですね。

まずはθ=60°のときcosθ=1/2がわかりました。


他にもcosθ=1/2となる場合はないでしょうか?

y軸の左側にも同じ形の三角形を作ることができますが、その場合はθが90°を超えてしまい、コサインの値はマイナスになってしまいます。

ということで、0°≦θ≦180°の範囲では、θ=60°の場合だけが求めるθの値になるのです。

三角方程式は、三角比の表を覚えて乗り切ってしまう人もいますが、忘れてしまった場合にお手上げ状態になってしまうし、覚えただけでは応用が利かないので、ちゃんと単位円を描いて考えられるようにした方がよいですよ!

スポンサード リンク


解答

θ=60°

「数学を勉強するすべての人へ」のトップページ