２次関数の最小値の最大値
●問題
「ｙ＝ｘ^2＋ａｘ＋ａの最小値をｍとするとき、ｍの最大値を求めよ。」
「最小値をｍとする」のに、「ｍの最大値」なんて意味不明と思いがちだが・・・？
■重要
数式は以下のルールに従って書いています。
分数・・・２分の１ → １／２、５分の３掛けるｘ → （３／５）ｘ
次数・・・ｘの２乗 → ｘ＾２、２ｘの２乗 → ２ｘ＾２
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方向性
ｍについての関数を作る。
解法
「最小値をｍとする」のに、「ｍの最大値」なんて意味不明と思いがちですね。
しかし、ｍをａの式で表すので、ａの値が変わればｍの値も変わってくる。
つまり、ａの値によって、ｍの値が大きくなったり小さくなったりするので、最大値なども存在するかも知れない。と考えよう！
最小値ｍについて考えるためには、ｍを式で表す必要があります。
ｍはｙ＝ｘ^2＋ａｘ＋ａの最小値です。
この２次関数は下に凸なので、頂点が最小値です。
ということでまずは、ｙ＝ｘ^2＋ａｘ＋ａを平方完成し、頂点を求めてみましょう！
ｙ＝ｘ^2＋ａｘ＋ａ
＝(ｘ＋ａ／２)^2−(ａ／２)^2＋ａ
＝(ｘ＋ａ／２)^2−ａ^2／４＋ａ
よって、頂点(−ａ／２，−ａ^2／４＋ａ)となります。
ということは、ｍ＝−ａ^2／４＋ａですね！
ｍはａの式で表されていて２次式になっているので、ｍとａの２次関数と考えて、最大値を求めることもできそうです。
ｍとａの２次関数は、２乗の項の係数がマイナスなので、上に凸のグラフです。ということは、頂点が最大値です。
結局は、平方完成して求めた頂点のｙ座標をさらにもう一度平方完成することになります。
ｍ＝−ａ^2／４＋ａ
＝−(１／４)(ａ^2−４ａ)
＝−(１／４){(ａ−２)^2−４}
＝−(１／４)(ａ−２)^2＋１
よって、ｍとａの２次関数の頂点(ａ，ｍ)＝(２，１)ですね！
というわけで、この頂点がｍの最大値となるのです。
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解答
ａ＝２のときｍの最大値１