２次関数の最大最小
●問題
「２次関数ｙ＝ｘ^2−ｘ＋ａの０≦ｘ≦１における最小値を求めよ。」
最小値を聞いていますが、２次関数の式にａが入っています。これでは最小値なんてわからない気もするが・・・？
■重要
数式は以下のルールに従って書いています。
分数・・・２分の１ → １／２、５分の３掛けるｘ → （３／５）ｘ
次数・・・ｘの２乗 → ｘ＾２、２ｘの２乗 → ２ｘ＾２
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方向性
とにかく頂点を出してみる。
解法
２次関数の最大最小といえば、頂点！でしたね？
頂点は、その前後で最も大きいか最も小さいかのどちらかに必ずなるからです。
文字が入っていようがなかろうが、まずは頂点の場所を知るのが大切です。
そして、頂点を求めるならば平方完成ですね！
ｙ＝ｘ^2−ｘ＋ａ
＝(ｘ−１／２)^2−(１／２)^2＋ａ
＝(ｘ−１／２)^2＋ａ−１／４
よって、頂点(１／２，ａ−１／４)
やはり、ａが入っているので、頂点の場所はよくわかりません(笑)
だから無理・・・ではなく、ａを含めたまま最小値を考えるのです。
この２次関数はｘの２乗の項の係数が１でプラスなので、下に凸の放物線です。
まずはそのようなグラフを描いてください。
頂点がｘ＝１／２のところにあって、下に凸の放物線です。ａの値はわからないので、上下の位置は適当なところにします。
描けましたか？描けたら、定義域をグラフに示してください。定義域は０≦ｘ≦１ですね。赤ペンなどでこの範囲をなぞるとわかりやすいと思います。
すると・・・今回は頂点が定義域に入っていましたね！？
ということは、頂点が最小です。「ｘ＝・・・のとき、最小値・・・」などの答え方で、頂点の座標を答えればＯＫ！
今回の問題に限らず一般的に、下に凸のグラフでは、頂点が定義域に入ってれば、頂点が最小になります。
ちなみに、設問では聞かれていませんが、この場合の最大は定義域の両端です。
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解答
ｘ＝１／２のとき、最小値ａ−１／４