２次関数の最大最小
●問題
「次の２次関数の最大値・最小値を求めよ。ｙ＝ｘ^2＋ｘ−１（−４≦ｘ≦−１）」
前回の問題と定義域が変わっただけです。これで何が違うのでしょうか？
■重要
数式は以下のルールに従って書いています。
分数・・・２分の１ → １／２、５分の３掛けるｘ → （３／５）ｘ
次数・・・ｘの２乗 → ｘ＾２、２ｘの２乗 → ２ｘ＾２
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方向性
頂点と定義域の位置関係を調べる。
解法
繰り返しになりますが、２次関数の最大最小といえば、頂点！と覚えておいてください。
頂点は必ず山か谷の先端になるので、頂点が定義域に含まれる場合は、頂点が最大か最小のどちらかになります。
また、頂点が定義域に含まれない場合は、定義域の両端が最大最小になります。
どちらにしても、頂点の座標は重要な情報になります。まずは平方完成して、求めてみましょう！
ｙ＝ｘ^2＋ｘ−１
＝(ｘ^2＋ｘ)−１
＝{(ｘ^2＋ｘ＋１／４)−１／４}−１
＝{(ｘ＋１／２)^2−１／４}−１
＝(ｘ＋１／２)^2−５／４
頂点は（−１／２，−５／４）ですね。
また、グラフを描くときは、ｙ軸との交点を求めておくと良いです。ｙ軸上はｘ＝０なので、ｙ＝ｘ^2＋ｘ−１にｘ＝０を代入すると、ｙ＝−１ですね。
よって、この２次関数とｙ軸との交点は(０，−１)です。
この２次関数は「頂点が（−１／２，−５／４）で、ｙ軸と（０，−１）で交わる」ことがわかりました。さらに、ａ＝１＞０なので下に凸のグラフになります。
・・・ここまでは前回と同じです(笑)
式が同じなのだから、やることは同じになってしまいますよね。
そして、定義域です。
今回は定義域が違っています。−４≦ｘ≦−１とあります。
この範囲の中で、一番上のところと下のところを答えればＯＫです。
グラフをよく見てみると・・・
−４≦ｘ≦−１には頂点が含まれていないので、定義域の両端が最大と最小です。
ｘ＝−４のとき
ｙ＝(−４)^2−４−１
＝１６−５
＝１１
ｘ＝−１のとき
ｙ＝(−１)^2−１−１
＝１−２
＝−１
これらの値のうち、大きい方が最大値で、小さい方が最小値ですね！
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解答
ｘ＝−１のとき最小値−１，ｘ＝−４のとき最大値１１