2次関数の頂点

●問題
「次の2次関数の頂点の座標と軸の方程式を求めよ。y=x^2−4x」

このままでは頂点も軸もわかりません。そんなときは・・・?

■重要
数式は以下のルールに従って書いています。
分数・・・2分の1 → 1/2、5分の3掛けるx → (3/5)x
次数・・・xの2乗 → x^2、2xの2乗 → 2x^2

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方向性

平方完成する。

解法

今回も2次関数の頂点の問題です。

y=a(x−p)^2+q という形になっていれば、頂点の座標がわかるのでしたね。
しかし、この問題ではこの形になっていません。

なってないならしてみればよい。

です。そのための最も重要な方法が「平方完成」です。

この「平方完成」という言葉は、2次関数を習った人なら誰でも聞いたことくらいはあると思います。 「2乗の形に完成する」というイメージです。

具体的には、y=a(x−p)^2+qの形にすることを「平方完成する」と言うのだと思ってもらえばOKです。
まずは実際にやってみましょう!

y=x^2−4x
 =x^2−4x+4−4 ←2乗を作るため、4を足して引いた
 =(x−2)^2−4   ←カッコの2乗を作った

このようにすることを「平方完成」と言います。

平方完成すると、y=a(x−p)^2+q という形になって、頂点の座標(p,q)がわかります
カッコの中はx−pなのでpは符号を変えるけど、qはそのままであることに注意してください。

また、軸は放物線の対称軸のことで、頂点を通る縦の線になります。 つまり、軸の方程式はx=pとなります。

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解答

頂点の座標(2,−4),軸の方程式x=2

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